Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=6，a₃+a₄=24．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n=log22n=n，得a_n+b_n=2ⁿ+n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=6，a₃+a₄=24，
∴

a1+a1q=6 a1q2+a1q3=24

，且q＞0，
解得a₁=2，q=2，
∴an=a1•qn-1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴a_n+b_n=2ⁿ+n
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=

2(2n-1)

2-1

+

n(n+1)

2

=2n+1-2+

n2

2

+

n

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．