Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為常數(shù)且，為參數(shù)）.

（1）求和的直角坐標方程；

（2）若和相交于、兩點，以線段為一條邊作的內(nèi)接矩形，當矩形的面積取最大值時，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標方程為：;直線的直角坐標方程為： (2)

【解析】

(1)曲線利用平方可消去參數(shù)，直線可用代入法消去參數(shù)，得到普通方程.
(2)利用均值不等式的方法可求出圓的內(nèi)接矩形面積最大時為內(nèi)接正方形，即,然后利用圓中的垂徑定理結合點到直線的距離可求得答案.

（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

所以曲線的直角坐標方程為：.

直線的參數(shù)方程為（為常數(shù)且，為參數(shù)）.

所以直線的直角坐標方程為：.

(2)如圖，直線過定點.

設. 因為為的內(nèi)接矩形.則為直徑,即

所以.

矩形對的面積為,.

,當且僅當時取等號.

圓的半徑，圓心到直線的距離為：

由，解得：.