Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．
（�。┰O(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意得2c=2，∴c=1，又，a²=b²+1．
消去a可得，2b⁴-5b²-3=0，解得b²=3或（舍去），則a²=4，
∴橢圓E的方程為．
（2）（ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），則，，
∵A，P，M三點(diǎn)共線，∴，∴，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，∴，故為定值．
（ⅱ）直線BP的斜率為，直線m的斜率為，
則直線m的方程為，====，
即．
所以直線m過(guò)定點(diǎn)（-1，0）．
分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系即可求出；
（2）（i）利用斜率的計(jì)算公式、三點(diǎn)共線的斜率性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上的性質(zhì)即可證明；
（ii）利用直線的點(diǎn)斜式及其（i）的有關(guān)結(jié)論即可證明．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式及其直線的點(diǎn)斜式是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明過(guò)的結(jié)論是解題的技巧．