Question

【題目】設{an}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）試推導{an}的前n項和公式；
（Ⅱ） 設q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（I）當q=1時，Sn=na1；當q≠0，1時，由Sn=a1+a2+…+an ，
得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq．
兩式錯位相減得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+…+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（*）
由等比數(shù)列的定義可得 ，
∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0．
∴（*）化為（1﹣q）Sn=a1﹣anq，
∴ ．
∴ ；
（Ⅱ）用反證法：設{an}是公比為q≠1的等比數(shù)列，數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列．
①當存在n∈N* ， 使得an+1=0成立時，數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．
②當n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時，則 = = ，
化為（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0，
∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾．
綜上兩種情況：假設不成立，故原結(jié)論成立
【解析】（Ⅰ）分q=1與q≠1兩種情況討論，當q≠1，0時，利用錯位相減法即可得出；（Ⅱ）分①當存在n∈N* ， 使得an+1=0成立時，顯然不成立；②當n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時，使用反證法即可證明．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比數(shù)列的前n項和公式和等比關系的確定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握前項和公式：；等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷．