Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F（c，0），直線x=c與雙曲線C在第一象限的交點為P，過F的直線l與雙曲線C過二、四象限的漸近線平行，且與直線AP交于點B，若△ABF與△PBF的面積的比值為2，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出B的坐標，利用過F的直線l與雙曲線C過二、四象限的漸近線平行，可得-$\frac{a}$=$\frac{\frac{2^{2}}{3a}}{\frac{2c-a}{3}-c}$，由此，即可得出結論．

解答 解：由題意P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∵△ABF與△PBF的面積的比值為2，∴AB：BP=2：1，
∵A（-a，0），∴B（$\frac{2c-a}{3}$，$\frac{2^{2}}{3a}$），
∵過F的直線l與雙曲線C過二、四象限的漸近線平行，
∴-$\frac{a}$=$\frac{\frac{2^{2}}{3a}}{\frac{2c-a}{3}-c}$，
∴2b=a+c，
∴3e²-2e-5=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{5}{3}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．