Question

對于數(shù)列{u_n}，若存在常數(shù)M＞0，對任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，則稱數(shù)列{u_n}為M數(shù)列．有下列命題：
（1）若數(shù)列{x_n}是M數(shù)列，則數(shù)列{x_n}的前n項和{S_n}是M數(shù)列；
（2）若數(shù)列{x_n}的前n項和{S_n}是M數(shù)列，則數(shù)列{x_n}不是M數(shù)列；
（3）若數(shù)列{a_n}是M數(shù)列，則數(shù)列{a_n²}也是M數(shù)列，
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）只需舉一反例即可；事實上設x_n=1（n∈N^*），易知數(shù)列x_n是M數(shù)列，但S_n=n，|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．由n的任意性知，數(shù)列S_n不是M數(shù)列．
（2）根據(jù)M數(shù)列的定義加以證明
（3）數(shù)列{a_n}都是M數(shù)列，則有|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M₁下面只需驗證|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤M．

解答： 解：（1）：若數(shù)列{x_n}是M數(shù)列，則數(shù)列{x_n}的前n項和{S_n}是M數(shù)列，此命題為假命題．
事實上設x_n=1（n∈N^*），易知數(shù)列x_n是M數(shù)列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．
由n的任意性知，數(shù)列S_n不是M數(shù)列．
（2）：若數(shù)列{x_n}的前n項和{S_n}是M數(shù)列，則數(shù)列{x_n}不是M數(shù)列．此命題為真命題．
事實上，因為數(shù)列S_n是M數(shù)列，
所以存在正數(shù)M，對任意的n∈N^*，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M，
即|x_n+1|+|x_n|+…+|x₂|≤M．
于是|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+…+|x₂-x₁|≤|x_n+1|+2|x_n|+2|x_n-1|+…+2|x₂|+|x₁|≤2M+|x₁|，
所以數(shù)列x_n是M數(shù)列．
（3）若數(shù)列{a_n}是M數(shù)列，則數(shù)列{a_n²}也是M數(shù)列，此命題為真命題．
若數(shù)列是{a_n}M數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的n∈N^*有
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M
因為|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M+|a₁|
記K=M+|a₁|，則有|a_n+1²-a_n²|=|（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
≤（|a_n+1|+|a_n|）|a_n+1-a_n|≤2K|a_n+1-a_n|
因此|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2KM
故數(shù)列{a_n²}是M數(shù)列．
故答案為：②③

點評：考查學生理解數(shù)列概念，靈活運用數(shù)列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）（3）的設置，增加了題目的難度，同時也考查了等差數(shù)列的定義和分類討論的思想，屬難題．