Question

某茶樓有四類茶飲，假設(shè)為顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計(jì)以往為100位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間（t），結(jié)果如下：

類別	鐵觀音	龍井	金駿眉	大紅袍
顧客數(shù)（人）	20	30	40	10
時(shí)間t（分鐘/人）	2	3	4	6

注：服務(wù)員在準(zhǔn)備泡茶工具時(shí)的間隔時(shí)間忽略不計(jì)，并將頻率視為概率．
（1）求服務(wù)員恰好在第6分鐘開(kāi)始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分鐘末已準(zhǔn)備好了工具的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)Y表示服務(wù)員準(zhǔn)備工具所需的時(shí)間，用P表示對(duì)應(yīng)的概率，求出Y的分布列，
計(jì)算“服務(wù)員在第6分鐘開(kāi)始為第三位顧客準(zhǔn)備泡茶工具”的概率；
（2）分析X的可能取值，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)Y表示服務(wù)員準(zhǔn)備工具所需的時(shí)間，用P表示概率，得Y的分布列如下；

Y	2	3	4	6
P	1 5	3 10	2 5	1 10

A表示事件“服務(wù)員在6分鐘開(kāi)始為第三位顧客準(zhǔn)備泡茶工具”，則事件A對(duì)應(yīng)兩種情形：
①為第一位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為2分鐘，且為第二位所需的時(shí)間為3分鐘；
②為第一位顧客所需的時(shí)間為3分鐘，且為第一位顧客準(zhǔn)備所需的時(shí)間為2分鐘；
∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）
=

1

5

×

3

10

+

3

10

×

1

5

=

3

25

；
（2）X的取值為0、1、2，
X=0時(shí)對(duì)應(yīng)為第一位顧客準(zhǔn)備所需的時(shí)間超過(guò)4分鐘，
∴P（X=0）=P（Y＞4）=

1

10

；
X=1對(duì)應(yīng)為第一位顧客所需的時(shí)間2分鐘且為第二位顧客準(zhǔn)備所需的時(shí)間超過(guò)2分鐘，
或?yàn)榈谝晃活櫩蜏?zhǔn)備所需的時(shí)間3分鐘或?yàn)榈谝晃活櫩蜏?zhǔn)備所需的時(shí)間4分鐘，
∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）
=

1

5

×

4

5

+

3

10

+

2

5

=

43

50

；
X=2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)備兩位顧客泡茶工具的時(shí)間均為2分鐘，
∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=

1

5

×

1

5

=

1

25

；
∴X的數(shù)學(xué)期望是E（X）=0×

1

10

+1×

43

50

+2×

1

25

=

47

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是得出隨機(jī)變量的可能取值，把隨機(jī)變量與事件結(jié)合起來(lái)，是中檔題．