Question

12．對于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的；否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現(xiàn)有兩個函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a），與f₂（x）=log_a$\frac{1}{x-a}$（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f₁（x）與f₁（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論f₁（x）與f₁（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是否是接近的？

Answer 1

分析 （1）要使f₁（x）與f₂（x）有意義，則有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞3a}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，從而求出a的取值范圍．
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，
?|f1（x）-f（x2）|≤1?|loga（x-3a）-${log}_{a}^{\frac{1}{x-a}}$|≤1?|loga[（x-3a）（x-a）]|≤1?a≤（x-2a）2-a2$≤\frac{1}{a}$對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

解答 解：（1）要使f₁（x）與f₂（x）有意義，則有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，
要使f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，等價于：$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞3a}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，所以0＜a＜1．
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，
?|f1（x）-f（x2）|≤1?|loga（x-3a）-${log}_{a}^{\frac{1}{x-a}}$|≤1?|loga[（x-3a）（x-a）]|≤1?a≤（x-2a）2-a2$≤\frac{1}{a}$對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
設(shè)h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其對稱軸x=2a＜2在區(qū)間[a+2，a+3]的左邊，
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（x）_{min}}\\{\frac{1}{a}≥h（x）_{max}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（3+2）}\\{\frac{1}{a}≥h（a+3}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤4-4a}\\{\frac{1}{a}≥9-6a}\end{array}\right.$?$0＜a≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，
所以當(dāng)$0＜a≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，時，f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意函數(shù)恒成立的充要條件的合理運用，屬于中檔題．