Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-xlnx，（x＞0）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值
（Ⅱ）設g（x）=

lnx

x-1

（x＞1），試分析函數(shù)g（x）的單調性
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，證明：當n＞m＞0時，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間，再根據函數(shù)的單調區(qū)間求得函數(shù)f（x）的最大值．
（Ⅱ）根據函數(shù)g（x）=

lnx

x-1

（x＞1）的導數(shù)求得當x＞1時，g′（x）＜0，可得函數(shù)g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，可得g（n+1）＜g（m+1），化簡可得要證的不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意得f′（x）=1-（lnx+x）=-lnx （x＞0），當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，故f（x）的最大值為f（1）=1．
（Ⅱ）由g（x）=

lnx

x-1

（x＞1），可得 g′（x）=

x-1 x -lnx

(x-1)2

=

x-1-xlnx

x(x-1)2

，
由（Ⅰ）知：f（x）=x-1-xlnx＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數(shù)g（x）=

lnx

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)，再根據n＞m＞1，
可得g（n+1）＜g（m+1），化簡可得

ln(1+n)

n

＜

ln(m+1)

m

，
整理得ln（1+n）^m＜ln（m+1）ⁿ，故有（1+n）^m＜（1+m）ⁿ ．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用單調性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．