Question

（1）證明：f（x）=x+

1

x

（x＞0）．在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）探索研究“對勾函數(shù)”g（x）=x+

a

x

（x＞0）其中a＞0的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）對f（x）求導(dǎo)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0，判斷f（x）是減函數(shù)，f′（x）＞0，判斷f（x）是增函數(shù)即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷“對勾函數(shù)”g（x）=x+

a

x

的單調(diào)性即可．

解答： 解：（1）證明：∵f（x）=x+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=1-

1

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，0＜x²＜1，∴

1

x2

＞1，
∴f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x²＞1，∴

1

x2

＜1，
∴f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
（2）“對勾函數(shù)”g（x）=x+

a

x

（x＞0）其中a＞0，
g（x）在（0，

a

）上是單調(diào)減函數(shù)，在（

a

，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
證明如下：∵g（x）=x+

a

x

，
∴g′（x）=1-

a

x2

，
∴當(dāng)x∈（0，

a

）時(shí)，0＜x²＜a，∴

1

x2

＞a，
∴g′（x）＜0，g（x）是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x∈（

a

，+∞）時(shí)，x²＞a，∴

1

x2

＜a，
∴g′（x）＞0，g（x）是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時(shí)可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，是基礎(chǔ)性題目．