【題目】已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線與直線垂直.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，求出導(dǎo)數(shù)，代入解得（Ⅱ）函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，等價(jià)于在上有解，求出導(dǎo)函數(shù)化簡不等式得在上有解，最后根據(jù)二次方程實(shí)根分布得充要條件，解得b的取值范圍是.（Ⅲ）先根據(jù)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，即是兩個(gè)根，得，再化簡，消參數(shù)b得，再令得，解得，由解出函數(shù)定義域：，可得，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

試題解析：（Ⅰ）∵，∴.

∵與直線垂直，∴，∴ .

（Ⅱ）

由題知在上有解，

設(shè)，則，所以只需故b的取值范圍是.

（Ⅲ）

令 得

由題

，則

，所以令，

又，所以， 所以

整理有，解得

，所以在單調(diào)遞減

故的最小值是

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