Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三條：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，根據(jù)條件，利用賦值法即可求f（0）的值；
（2）根據(jù)理想函數(shù)的定義，分別判斷函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否滿足兩個條件即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，
則令x₁=0，x₂=0得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
由①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；∴f（0）=0；
（2）函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）上滿足g（x）≥0，
∵g（1）=1，若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）=2^x₁+x₂-2^x₁-2^x₂+1）=（2^x₁-1）（2^x₂-1）≥0，
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），
即函數(shù)g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是理想函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的定義分別判斷條件已經(jīng)利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．