Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個焦點分別為F₁、F₂，該雙曲線與拋物線y²=8x有一個公共的焦點F₁，且兩曲線的一個交點為P，|F₁P|=5，則∠F₁PF₂的大小為

 

．（結果用反三角函數表示）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意雙曲線與拋物線y²=8x有一個公共的焦點F，可求得雙曲線的兩個焦點的坐標，再由兩曲線的一個交點為P，|PF|=5，利用拋物線的性質可以求得P點的坐標，再由兩點間距離公式可以求得P點到另一個焦點的距離，由此即可利用余弦定理求出∠FPF'的余弦值，用反三角函數表示出角即可．

解答： 解：由題意知拋物線的焦點是（2，0），故雙曲線的焦點是（2，0）與（-2，0）
又兩曲線的一個交點為P，|PF|=5，由拋物線的性質可求得P的橫坐標為3，代入拋物線方程可求得P點的縱坐標是±2

6

不妨令P（3，2

6

），由兩點間距離公式求得，P到另一個焦點的距離是7
在△FPF'中，由余弦定理得cos∠FPF'=

72+52-42

2×7×5

=

29

35

，
∴∠FPF'的大小為arccos

29

35

，
故答案為：arccos

29

35

．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，求解本題的關鍵是根據拋物線的性質求出雙曲線的兩個焦點的坐標以及兩曲線交點的坐標，由此求出點P到兩個焦點的距離，在這個焦點三角形中利用余弦定理求出∠FPF'的余弦值，再用反三角函數表示，本題的解題思路要注意從圖形上推理，圓錐曲線的題解題時要注意圖形的作用，數形結合是解析幾何的根本．