Question

已知λ為非零常數(shù)，數(shù)列{a_n}與{2a_n+λ}均為等比數(shù)列，且a₂₀₁₂=3，則a₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的公比，由{2a_n+λ}為等比數(shù)列得到（1-q）λ=0，求出數(shù)列{a_n}的公比為1，則答案可求．

解答： 解：設(shè){a_n}的公比為q，由{2a_n+λ}為等比數(shù)列，得

2an+1+λ

2an+λ

=

2an•q+λ

2an+λ

=

2an•q+qλ+(1-q)λ

2an+λ

=q+

(1-q)λ

2a1qn-1+λ

．
要使{2a_n+λ}為等比數(shù)列，則q+

(1-q)λ

2a1qn-1+λ

是常數(shù)，
∴（1-q）λ=0，
∵λ≠0，因此只有1-q=0，q=1．
∴數(shù)列{a_n}是以1為公比的等比數(shù)列，也是各項(xiàng)均為3的常數(shù)數(shù)列．
則a₁=a₂₀₁₂=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比關(guān)系的確定，體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．