Question

【題目】已知函數(shù)，，直線與曲線切于點(diǎn)，且與曲線切于點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）證明：（ⅰ）；（ⅱ）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出，，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而得到. （Ⅱ）證明：（ⅰ）由于,由題意可構(gòu)造函數(shù),

再求,得到函數(shù)的單調(diào)性,可得；同理再構(gòu)造函數(shù)，得到，從而不等式成立.

（ⅱ）證明本題時(shí)，注意（ⅰ）的結(jié)論的應(yīng)用，取得：,

令，則，

當(dāng)時(shí)，作差比較的大小，可證出.

又，

故,利用放縮法得到證畢

試題解析：（Ⅰ）由，，

則，，，，

曲線在點(diǎn)處的切線為，

曲線在點(diǎn)處的切線為，即，

依題意，得.

（Ⅱ）證明：（ⅰ）,令,

所以,

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減,

所以；

令，則

所以單調(diào)遞減，故，

所以成立.

（ⅱ）由（ⅰ），取得：,

令，

則，當(dāng)時(shí)，

.

因此.

又，

故,

所以當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，成立.