12.在△ABC中,若sin2A=sinB•sinC且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則該三角形的形狀是等邊三角形.

分析 由條件利用余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$,可得A=60°.再根據(jù)sinB•sinC=sin2A,可得bc=a2,即(b-c)2=0,即b=c,綜合可得結(jié)論.

解答 解:在△ABC中,∵(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
∴化簡(jiǎn)可得:b2+c2-a2=bc,
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,
∴A=60°.
再根據(jù)sinB•sinC=sin2A,可得bc=a2,
∴b2+c2=a2+bc=2bc,
即(b-c)2=0,
∴b=c.
綜上可得,△ABC為等邊三角形,
故答案為:等邊三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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