Question

12．在△ABC中，若sin²A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c-a）=3bc，則該三角形的形狀是等邊三角形．

Answer 1

分析 由條件利用余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=60°．再根據(jù)sinB•sinC=sin²A，可得bc=a²，即（b-c）²=0，即b=c，綜合可得結(jié)論．

解答 解：在△ABC中，∵（b+c+a）（b+c-a）=3bc，
∴化簡(jiǎn)可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°．
再根據(jù)sinB•sinC=sin²A，可得bc=a²，
∴b²+c²=a²+bc=2bc，
即（b-c）²=0，
∴b=c．
綜上可得，△ABC為等邊三角形，
故答案為：等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．