Question

【題目】對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，則x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1]
【解析】解：不等式mx2﹣2x﹣m≥2可化為mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，
函數(shù)f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，
則f（x）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2對(duì)于m∈[0，1]時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即不等式（x2﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；
令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2，
則函數(shù)g（m）在區(qū)間[0，1]上的最小值大于或等于0；
因?yàn)楹瘮?shù)g（m）的一次項(xiàng)系數(shù)為x2﹣1，
當(dāng)x2﹣1=0時(shí)，x=±1，且x=1時(shí)，g（m）=﹣4不合題意；
x=﹣1時(shí)，g（m）=0滿(mǎn)足題意；
當(dāng)x2﹣1＞0時(shí)，有x＞1或x＜﹣1，
函數(shù)g（m）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，應(yīng)取x＜﹣1；
當(dāng)x2﹣1＜0時(shí)，有﹣1＜x＜1，函數(shù)g（m）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
g（m）的最小值是g（1）=x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此時(shí)x不存在；
綜上，x的取值范圍是x≤﹣1．
所以答案是：（﹣∞，﹣1]．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用解一元二次不等式，掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊即可以解答此題．