Question

已知圓m=1與x軸相切，圓心C在射線3x-y=0（x＞0）上，直線x-y=0被圓C截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點Q（0，-1），經(jīng)過點Q直線l與圓C相切于P點，求|QP|的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為 （a，3a），且a＞0，求出圓心（a，3a）到直線x-y=0的距離，利用勾股定理，求出圓心與半徑，即可求圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在Rt△QPC中，|QP|=

(|QC|)2-9

，即可求|QP|的值．

解答： 解：（1）因為圓心C在射線3x-y=0（x＞0）上，
設(shè)圓心坐標(biāo)為 （a，3a），且a＞0，
圓心（a，3a）到直線x-y=0的距離為d=

|-2a|

2

=

2

a
又圓C與x軸相切，所以半徑r=3a
設(shè)弦AB的中點為M，則|AM|=

7

在RtAMC中，得(

2

a)2+(

7

)2=(3a)2
解得a=1，r²=9
故所求的圓的方程是（x-1）²+（y-3）²=9   …（8分）
（2）如圖，在Rt△QPC中，|QP|=

(|QC|)2-9

，
|QC|=

1+42

=

17

所以|QP|=

( 17 )2-9

=2

2

…..（12分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．