試題分析:在解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),一般有三種方法:一是直接求出直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出;二是不求交點(diǎn)坐標(biāo),用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出,即設(shè)直線(xiàn)的斜率為k,直線(xiàn)與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解,三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)求.對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題,一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷.本題所用方法就是第三種方法.
(1)直線(xiàn)
過(guò)點(diǎn)
,故可以設(shè)出直線(xiàn)
的點(diǎn)斜式方程,又由直線(xiàn)被圓
截得的弦長(zhǎng)為
,根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足勾股定理,求出弦心距,即圓心到直線(xiàn)的距離,得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率
的方程,解方程求出
值,可求直線(xiàn)
的方程.
(2)與(1)相同,設(shè)出過(guò)
點(diǎn)的直線(xiàn)
與
的點(diǎn)斜式方程,由于兩直線(xiàn)斜率為1,且直線(xiàn)
被圓
截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)
被圓
截得的弦長(zhǎng)相等,得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率
的方程,解方程求出
值,代入即得直線(xiàn)
與
的方程.
試題解析:(1)由于直線(xiàn)
與圓
不相交,所以直線(xiàn)
的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)
的方程為
,圓
的圓心
到直線(xiàn)
的距離為
,
因?yàn)橹本(xiàn)
被圓
截得的弦長(zhǎng)為
,
,
即
或
,
所以直線(xiàn)
的方程為
或
(5分)
(2)設(shè)點(diǎn)
滿(mǎn)足條件,不妨設(shè)直線(xiàn)
的方程為
,
則直線(xiàn)
的方程為
,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033447552334.png" style="vertical-align:middle;" />和
的半徑相等,及直線(xiàn)
被圓
截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)
被圓
截得的弦長(zhǎng)相等,所以圓
的圓心到直線(xiàn)
的距離和圓
的圓心到直線(xiàn)
的距離相等,
即
(8分)
整理得:
即
,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033447583313.png" style="vertical-align:middle;" />的取值有無(wú)窮多個(gè),
所以
(12分)
解得
這樣點(diǎn)
只可能是點(diǎn)
或點(diǎn)
.
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)
和
滿(mǎn)足題目條件. (14分)