Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓:和圓:

(1)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2，求直線(xiàn)l的方程；
(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線(xiàn)和，它們分別與圓和圓相交，且直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

(1) 直線(xiàn)的方程為或;(2) 點(diǎn)或點(diǎn).

試題分析：在解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，一般有三種方法：一是直接求出直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，直線(xiàn)與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解，三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)求．對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷．本題所用方法就是第三種方法．
（1）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故可以設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，又由直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足勾股定理，求出弦心距，即圓心到直線(xiàn)的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率的方程，解方程求出值，可求直線(xiàn)的方程．
（2）與（1）相同，設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的點(diǎn)斜式方程，由于兩直線(xiàn)斜率為1，且直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)相等，得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率的方程，解方程求出值，代入即得直線(xiàn)與的方程．
試題解析：(1)由于直線(xiàn)與圓不相交，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，
因?yàn)橹本�(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，
，
即或，
所以直線(xiàn)的方程為或   （5分）
(2)設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，
則直線(xiàn)的方程為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033447552334.png" style="vertical-align:middle;" />和的半徑相等，及直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓的圓心到直線(xiàn)的距離和圓的圓心到直線(xiàn)的距離相等，
即   （8分）
整理得：即，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033447583313.png" style="vertical-align:middle;" />的取值有無(wú)窮多個(gè)，
所以   （12分）
解得
這樣點(diǎn)只可能是點(diǎn)或點(diǎn).
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)和滿(mǎn)足題目條件．   （14分）