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10.設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域為D,若對于任意x1,x2∈D且x1+x2=2a,恒有f(x1)+f(x2)=2b,則稱點(a,b)為函數(shù)y=f(x)圖象的對稱中心.研究并利用函數(shù)f(x)=x3-3x2-sin(πx)的對稱中心,計算S=f12015+f22015++f40282015+f40292015的值-8058)

分析 觀察到自變量前后對稱相加和為定值2,故令a=1,x1+x2=2,求得f(x1)+f(x2)=-4,從而求得要求式子的值.

解答 解:觀察到自變量前后對稱相加和為定值2,故令a=1,∵x1+x2=2,
∴f(x1)+f(x2)=x13-3x12-sin(πx1 )+2x13-3 2x12-sin[π(2-x1)]=-4,為定值,
S=f12015+f22015++f40282015+f40292015,且S=40292015+40282015+40272015+…+22015+12016
故2S=-4×4029,∴S=-8058,
故答案為:-8058.

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的函數(shù)的圖象的對稱性,求函數(shù)的值,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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19.已知sinα=\frac{3}{5},α∈(0,\frac{π}{2}).sinβ=\frac{4}{5},β是第二象限角.
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(1)求a的值及f(2),f(4)的值;
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