Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*滿足關(guān)系式2S_n=3a_n-3．?dāng)?shù)列{b_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且b₁=2，b₂，b₁，b₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，兩式相減，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3ⁿ．由b₂，b₁，b₃成等比數(shù)列，能求出b_n．
（2）設(shè)，由，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
∵b₂，b₁，b₃成等比數(shù)列，
∴，即4=（2+d）（2+2d）
解得，d=-3或d=0（舍去）
∴b_n=2-3（n-1）=-3n+5．
（2）設(shè)，
∴，①
∴，②
②-①得，
=-6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹+（-3n+5）×3ⁿ⁺¹
=
=
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．