Question

如圖，△BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E、F分別為DB、CB的中點(diǎn)．
（1）證明：P、A、E、F四點(diǎn)共面；
（2）證明：AE⊥BC；
（3）求直線PF與平面BCD所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過(guò)平面BCD⊥平面ABC，結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì)定理，推出EF∥PA，即可證明A，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（2）連AF，EF，推出BC⊥平面AEF，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AE⊥BC．
（3）推出PA⊥平面ABC，證明AF⊥平面BCD，說(shuō)明PF在平面BCD內(nèi)射影為EF，然后說(shuō)明∠PFE即為所求，求解即可．

解答： 解：（1）證明：平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC=BCCD⊥BC，CD?平面BCD，
CD⊥平面ABC∵PA⊥平面ABC∴PA∥CD，PA=

1

2

CD△BCD中，E、F分別為DB、CB的中點(diǎn)∴EF∥DC，EF=

1

2

CD∴EF∥PA，EF=PA
P，A，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面-------------------------（4分）
（2）證明：連AF，EF，△ABC中，AC=BC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，AF⊥BC，∠BCD=90°，DC∥EF，∴EF⊥BC，AF∩EF=F
BC⊥平面AEF，
AE?平面AEF∴AE⊥BC-------------------------------（8分）
（3）解：∴PA∥CD∵PA⊥平面ABC，
CD⊥平面ABC，AF?平面ABC，AF⊥CD，
∵AB=AC，BF=CF∴AF⊥BC，BC∩CD=C，
∴AF⊥平面BCD，
∵PE∥AF∴PE⊥平面BCD，
PF在平面BCD內(nèi)射影為EF，
∴∠PFE即為所求．
可求∠PFE=60°，
直線PF與平面BCD所成角的大小為60°-----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成角的求法，平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．