設(shè)橢圓E：(a，b＞0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)因?yàn)闄E圓E：(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，

　　所以解得所以橢圓E的方程為

　　(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，

　　解方程組得，即，

　　則△＝，即

　　

　　

　　要使，需使，即，所以

　　，

　　所以又，

　　所以，所以，即或，

　　因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

　　所以圓的半徑為，，，

　　所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，

　　而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，

　　綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4164/0022/56844266da3285a80b2e090edce643cc/C/Image121.gif" width=126 HEIGHT=88>，

　　所以，

　　

　　，

　　①當(dāng)時(shí)

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4164/0022/56844266da3285a80b2e090edce643cc/C/Image143.gif" width=105 height=41>所以，

　　所以，

　　所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”．

　�、�時(shí)，．

　�、郛�(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為或，

　　所以此時(shí)，

　　綜上，|AB|的取值范圍為．即：


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（Ⅱ）若△AF1F2的面積是e，求橢圓E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)m使∠BF2C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

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（Ⅰ）求橢圓E的離心率e；
（Ⅱ）若△AF1F2的面積是e，求橢圓E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)m使∠BF2C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

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