Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-ax（a∈R）．
①若曲線y=f（x）在x=0處與直線x+y=b相切，求a，b的值；
②設(shè)x∈[-ln2，0]時，f（x）在x=0處取得最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：①求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由題意把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出a的值，把x=0代入函數(shù)f（x）中即可求出b的值；
②分a小于等于0，a大于等于1，及a大于0小于1三種情況考慮導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）在x=0處取得最大值，找出滿足題意的a范圍，當(dāng)a小于等于0時，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)在在[-ln2，0]上單調(diào)遞增，故x=0處取得最大值，滿足題意；當(dāng)a大于等于1時，得到導(dǎo)函數(shù)值小于0，函數(shù)在[-ln2，0]上單調(diào)遞減，不在x=0處取得最大值，不滿足題意；當(dāng)a大于0小于1時，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)取得最大值時x的值，從而求出此時a的飯范圍，綜上，得到滿足題意a的范圍．
解答：解：①∵f（x）=ln（e^x+1）-ax，∴f′（x）=-a，
依題意，曲線y=f（x）與直線x+y=b相切于（0，b），
所以f′（0）=-a=-1，b=f（0）=ln2，
∴a=，b=ln2；
②當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[-ln2，0]上單調(diào)遞增，在x=0處取得最大值；
當(dāng)a≥1時，f′（x）＜0，f（x）在[-ln2，0]上單調(diào)遞減，不在x=0處取得最大值；
當(dāng)0＜a＜1時，f′（x）＞0，得x＞ln；f′（x）＜0，得x＜ln，
所以f（x）在（-∞，ln）單調(diào)遞減，在（ln，+∞）單調(diào)遞增．
此時f（x）在x=0或x=-ln2處取得最大值，
所以當(dāng)且僅當(dāng)f（0）≥f（-ln2），
即ln2≥ln+aln2時，f（x）在x=0處取得最大值，
此時解得0＜a≤2-log₂3．
綜上，a的取值范圍是（-∞，2-log₂3]．
點(diǎn)評：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，要求學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．