Question

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)證明：直線l過定點；

(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

解：(1)證明：法一：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，

故無論k取何值，直線l總過定點(－2,1)．

法二：設(shè)直線l過定點(x₀，y₀)，

則kx₀－y₀＋1＋2k＝0對任意k∈R恒成立，

即(x₀＋2)·k－y₀＋1＝0恒成立，

∴x₀＋2＝0，－y₀＋1＝0，

解得x₀＝－2，y₀＝1，

故直線l總過定點(－2,1)．

(2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，

要使直線l不經(jīng)過第四象限，則

解得k的取值范圍是[0，＋∞)．

(3)依題意，直線l在x軸上的截距為

－，在y軸上的截距為1＋2k，

∴A，B(0,1＋2k)．

又－<0且1＋2k>0，∴k>0.

故S＝|OA||OB|＝×

＝≥(4＋4)＝4，

當且僅當4k＝，即k＝時，取等號．

故S的最小值為4，

此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.