Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

5

3

，設(shè)其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為B₁，且F₂到直線B₁F₁的距離為

4 5

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（2，0）作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線，使得|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|？若存在，求出直線的方程，若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）直線B₁F₁的方程為bx-cy+bc=0，由已知得

2bc

a

=

4 5

3

，

c

a

=

5

3

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，得：

OA

•

OB

=0，設(shè)直線的方程為y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出滿足條件的直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）直線B₁F₁的方程為

x

-c

+

y

b

=1，即bx-cy+bc=0，
由F₂到直線B₁F₁的距離為

4 5

3

，得

2bc

b2+c2

=

2bc

a

=

4 5

3

，
又

c

a

=

5

3

，所以b=2，a=3，…（4分）
所以橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，得：

OA

•

OB

=0，
若直線的斜率不存在，直線的方程為x=2
由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

，得

x=2 y=± 2 5 3

，
所以

OA

•

OB

=

16

9

與

OA

•

OB

=0矛盾，故直線的斜率存在，…（7分）
設(shè)直線的方程為y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，
得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
由題意△＞0恒成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

，…（9分）
由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
把x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

，
代入得（1+k²）•

36(k2-1)

9k2+4

-2k2•

36k2

9k2+4

+4k²，
解得k=±

3

2

，…（13分）
所以直線的方程為y=±

3

2

(x-2)，
即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．