Question

【題目】如圖，已知是圓柱底面圓O的直徑，底面半徑，圓柱的表面積為，點在底面圓上，且直線與下底面所成的角的大小為.

(1)求的長；

(2)求二面角的大小的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根據(jù)母線底面，即可找出與下底面所成的角的為，從而在直角三角形中，即可求出；

(2) 以為坐標(biāo)原點，以、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出所需點的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的大小的余弦值.

(1)設(shè)圓柱的母線長為，則根據(jù)已知條件可得，

，，解得，因為底面，所以是在底面上的射影，所以是直線與下底面所成的角，即

在直角三角形中，，，

(2)因為是底面直徑，，所以

以為坐標(biāo)原點，以、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，

則、、、，

于是,，設(shè)平面的一個法向量為，

則即不妨令，即平面的一個法向量，

因為平面的一個法向量為，

設(shè)二面角的大小為，則，

由于二面角為銳角，所以二面角的大小的余弦值是．