Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ x2﹣ax（a為常數(shù)）有兩個極值點．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）的兩個極值點分別為x1 ， x2 ， 若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

f′（x）= 且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x2﹣ax+a=0兩個不同的正根x1，x2，（x1＜x2）

則 ，∴a＞4，

（0，x1），f′（x）＞0，（x1，x2），f′（x）＜0，（x2，+∞），f′（x）＞0，

∴x1，x2是f（x）的兩個極值點，符合題意，

∴a＞4；

（2）解：f（x1）+f（x2）=alnx1+ x12﹣ax1+alnx2+ x22﹣ax2=a（lna﹣ a﹣1），

∴ =lna﹣ a﹣1，

令y=lna﹣ a﹣1，則y′= ﹣ ，

∵a＞4，

∴y′＜0，

∴y=lna﹣ a﹣1在（4，+∞）上單調(diào)遞減，

∴y＜ln4﹣3，

∵不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，x1+x2＞0，

∴是λ的最小值ln4﹣3

【解析】（1）f′（x）= 且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x2﹣ax+a=0兩個不同的正根，即可求實數(shù)a的取值范圍；（2）利用韋達定理，可得 =lna﹣ a﹣1，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求λ的最小值．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．