Question

已知f（x）=m^x（m為常數(shù)，m＞0且m≠1）．設(shè)f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）…（n∈N）是首項為m²，公比為m的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若c_n=f（a_n）lgf（a_n），問是否存在m，使得數(shù)列{c_n}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，從而可得a_n=n+1，進而可證數(shù)列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項，要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對一切n∈N^*成立，對m進行分類討論，即可求得m的取值范圍．

解答： （1）證明：由題意，f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，即man=mn+1．
∴a_n=n+1，
∴a_n+1-a_n=1，∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由題意c_n=f（a_n）•lgf（a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，
即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對一切n∈N^*成立，
①當m＞1時，lgm＞0，所以n+1＜m（n+2）對一切n∈N^*恒成立；（11分）
②當0＜m＜1時，lgm＜0，所以

n+1

n+2

＞m對一切n∈N^*成立，
∵

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值為

2

3

，∴0＜m＜

2

3

，
綜上，當0＜m＜

2

3

或m＞1時，數(shù)列{c_n}中每一項恒小于它后面的項．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項，正確分類討論是關(guān)鍵．