(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓的離心率為
,其左焦點(diǎn)
與拋物線
的焦點(diǎn)相同.
(1)求此橢圓的方程;
(2)若過此橢圓的右焦點(diǎn)的直線
與曲線
只有一個(gè)交點(diǎn)
,則
①求直線的方程;
②橢圓上是否存在點(diǎn),使得
,若存在,請說明一共有幾個(gè)點(diǎn);若不存在,請說明理由.
(1)
(2)①或
或
.
②12個(gè)
【解析】
試題分析:對于第一問中的橢圓方程,根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值,根據(jù)離心率的值,得出
的值,從而得出
的值,得到相應(yīng)的橢圓方程,對于第二問,根據(jù)題的條件,設(shè)出直線的方程,當(dāng)直線和拋物線相切時(shí),一種情況,聯(lián)立式子,對應(yīng)的二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根,判別式等于0,一種是直線和拋物線的對稱軸平行即可得結(jié)果;根據(jù)所求的直線方程,可以得出對應(yīng)的交點(diǎn)P的坐標(biāo),因?yàn)镕點(diǎn)是已知的,所以三角形的底邊FP的長度已經(jīng)確定,要想面積是所給的值,可以得出點(diǎn)M到此直線的距離,建立相應(yīng)的等量關(guān)系,從而得出點(diǎn)的個(gè)數(shù).
試題解析:
【解析】
(1)拋物線的焦點(diǎn)為
,
所以. (1分)
由,得
, (2分)
所以 (3分)
因此,所求橢圓的方程為(*)(4分)
(2)①橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)
與
軸平行的直線顯然與曲線
沒有交點(diǎn).設(shè)直線
的斜率為
. (5分)
當(dāng)時(shí),則直線
過點(diǎn)
且與曲線
只有一個(gè)交點(diǎn)
,此時(shí)直線
的方程為
; (6分)
當(dāng)時(shí),因直線
過點(diǎn)
,故可設(shè)其方程為
,將其代入
消去
,得
.
因?yàn)橹本€與曲線
只有一個(gè)交點(diǎn)
,所以判別式
,于是
,即直線
的方程為
或
. (7分)
因此,所求的直線的方程為
或
或
. (8分)
②由①可求出點(diǎn)的坐標(biāo)是
或
或
.
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
時(shí),則
.于是
=
,從而
,代入(*)式聯(lián)立:
或
,求得
,此時(shí)滿足條件的點(diǎn)
有4個(gè):
. (10分)
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,則
,點(diǎn)
到直線
:
的距離是
,于是有
,
從而,與(*)式聯(lián)立:
或
解之,可求出滿足條件的點(diǎn)
有4個(gè):
,
,
,
. (12分)
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,則
,點(diǎn)
到直線
:
的距離是
,于是有
,
從而,與(*)式聯(lián)立:
或
,
解之,可求出滿足條件的點(diǎn)有4個(gè):
,
,
,
. (14分)
綜合①②③,以上12個(gè)點(diǎn)各不相同且均在該橢圓上,因此,滿足條件的點(diǎn)共有12個(gè).圖上橢圓上的12個(gè)點(diǎn)即為所求.
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和橢圓的位置關(guān)系,兩點(diǎn)間的距離,點(diǎn)到直線的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年廣東省肇慶市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)(
)為奇函數(shù),
,
,則
A.0 B.1 C. D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年湖北省師大附中高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若函數(shù),
分別是R上的奇函數(shù),偶函數(shù),且滿足
,則有
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年廣東省肇慶市高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
圖是一個(gè)組合體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積(接觸面積忽略不計(jì))等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年廣東省肇慶市高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
某三棱錐的三視圖如圖所示,其正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形,則該三棱錐的體積等于
A. B.
C.
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年廣東省肇慶市高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,有三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.
(1)證明:A,B,C三點(diǎn)不共線;
(2)求過A,B的中點(diǎn)且與直線平行的直線方程;
(3)設(shè)過C且與AB所在的直線垂直的直線為,求
與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年廣東省肇慶市高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,橢圓
的方程為
,雙曲線
的方程為
,
與
的離心率之積為
,則
的漸近線方程為
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年廣東省高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
命題“若則
”的逆否命題是____________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年重慶市高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分,(1)小問3分,(2)小問4分,(3)小問5分)
對于函數(shù),若存在實(shí)數(shù)對(
),使得等式
對定義域中的每一個(gè)
都成立,則稱函數(shù)
是“(
)型函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為 “(
)型函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)是“(
)型函數(shù)”,求出滿足條件的一組實(shí)數(shù)對
;
(3)已知函數(shù)是“(
)型函數(shù)”,對應(yīng)的實(shí)數(shù)對
為(1,4).當(dāng)
時(shí),
,若當(dāng)
時(shí),都有
,試求
的取值范圍.
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