已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F1與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,原點(diǎn)到過點(diǎn)A(a,0),B(0,-b)的直線的距離是
2
7
21

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,過F1作PF1的垂直于直線l交于點(diǎn)Q,求證:點(diǎn)Q在定直線上,并求出定直線的方程.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已恬條件得a2=b2+1,
ab
a2+b2
=
2
7
21
,由此能求出橢圓C的方程.
(2)由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直線與橢圓相切,得4k2-m2+3=0,由此能證明點(diǎn)Q在定直線x=4上.
解答: (1)解:由于拋物線的y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),∴c=1,
∴a2=b2+1,
∵頂點(diǎn)到直線AB:
x
a
-
y
b
=1
的距離d=
ab
a2+b2
=
2
7
21
,
∴a2=4,b2=3,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)證明:由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0(*)
由直線與橢圓相切得m≠0,且△=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,
整理,得4k2-m2+3=0,
將4k2+3=m2,m2-3=4k2代入(*)式得
m2x2+8kmx+16k2=0,即(mx+4k)2=0,解得x=-
4k
m
,
∴P(-
4k
m
,
3
m
),又F1(1,0),∴kPF1=
3
m
-
4k
m
-1
=-
3
4k+m
,
kF1Q=
4k+m
3
,∴直線F1Q的方程為:y=
4k+m
3
(x-1)

聯(lián)立
y=kx+m
y=
4k+m
3
(x-1)
,得x=4,
∴點(diǎn)Q在定直線x=4上.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查點(diǎn)在定直線上的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率e=
2
2
,A,B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
,動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,使得|PF1|+|PF2|為定值?若存在,求F1,F(xiàn)2的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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n+1
-1)<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
(n∈N*

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