已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),離心率e=
2
2
,A,B是橢圓上的動點.
(1)求橢圓標準方程;
(2)若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
,動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
(O為坐標原點).問是否存在兩個定點F1,F(xiàn)2,使得|PF1|+|PF2|為定值?若存在,求F1,F(xiàn)2的坐標,若不存在,說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)利用橢圓的離心率計算公式和b2=a2-c2即可得出.
(2)利用向量的坐標運算、點在橢圓上滿足橢圓的方程、斜率計算公式及其橢圓的定義即可得出.
解答: 解:(1)由題意知:
c=1
c
a
=
2
2
,解得a=
2
,
∴b2=a2-c2=1,
∴橢圓標準方程為
x2
2
+y2=1

(2)設P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
則由
OP
=
OA
OB

(x,y)=(x1,y1)+λ(x2,y2)=(x1+λx2,y1+λy2),
即x=x1+λx2,y=y1+λy2
∵點A、B在橢圓x2+2y2=2上,
x12+2y12=2,x22+2y22=2,
故x2+2y2=(x122x22+2λx1x2)+2(y122y22+2λy1y2
=(x12+2y12)+λ2x22+2y22)+2λ(x1x2+2y1y2
=2+2λ2+2λ(x1x2+2y1y2).
∵kOA•kOB=
y1
x1
y2
x2
=-
1
2
,
∴x1x2+2y1y2=0,
∴x2+2y2=2+2λ2.即
x2
2+2λ2
+
y2
1+λ2
=1

∴P點是橢圓
x2
2+2λ2
+
y2
1+λ2
=1
上的點,
設該橢圓的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,
由橢圓的定義可知:|PF1|+|PF2|為定值.
又∵c=
1+λ2
,
∴此橢圓的兩焦點的坐標為F1(-
1+λ2
,0),F(xiàn)2
1+λ2
,0).
∴存在兩個定點F1(-
1+λ2
,0),F(xiàn)2
1+λ2
,0).
使得|PF1|+|PF2|=2
2+2λ2

(Ⅲ)證明:設A(x1,y1),D(x2,y2),
由題設可知:x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,x1≠x2,C(x1,0),B(-x1,-y1).
由題意可知:kCB=kBD,∴
y1
2x1
=
y2+y1
x2+x1
,③
kABkAD+1=
y1
x1
y2-y1
x2-x1
+1
,④
將③代入④得:kAB•kAD+1=
2(y2+y1)
x2+x1
y2-y1
x2-x1
+1
=
(x22+2y22)-(x12+2y12)
x22-x12
,⑤
點A,D在橢圓x2+2y2=2上,
∴kAB•kAD+1=
(x22+2y22)-(x12+2y12)
x22-x12
=
2-2
x22-x12
=0

∴kAB•kAD=-1,
∴AB⊥AD.
點評:本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點在橢圓上可知滿足橢圓的方程、斜率計算公式、對稱的性質(zhì)、直線垂直與斜率的關(guān)系等基礎知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
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設集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y=-x2+4,x∈R},則A∩B=( 。
A、(1,+∞)
B、(1,4]
C、(1,4)
D、(-∞,4]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知c是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的半焦距,則
2b+c
2a
的取值范圍是( 。
A、(
1
2
,+∞)
B、(
1
2
5
2
]
C、(
1
2
2
]
D、(
1
2
,1]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

動點P(a,b)在不等式組
x+y-2≤0
x-y≥0
y≥0
表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運動,則u=
a+b-3
a-1
的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1]∪[3,+∞)
B、[-1,3]
C、(-1,3)
D、(-∞,-1)∪(3,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
b
,
c
均為單位向量,且|
a
+
b
|=1,則(
a
-
b
)•
c
的取值范圍是( 。
A、[0,1]
B、[-1,1]
C、[-
3
,
3
]
D、[0,
3
]

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,E是PB的中點,AB=2AD=2CD=2,且二面角P-AC-E的大小為
π
4

(Ⅰ)求證:AC⊥平面PBC;
(Ⅱ)求三棱錐C-ABE高的大。
(Ⅲ)求直線PA與平面ACE所成角的大。

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如圖,鐵路線上AB段長100千米,工廠C到鐵路的距離CA為20千米.現(xiàn)要在AB上某一點D處,向C修一條公路,已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最少,D點應選在何處?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,SD=
2
a,設SB的中點為M,DM⊥MC.
(1)求證:DM⊥平面SBC;
(2)求四棱錐S-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F1與拋物線y2=4x的焦點重合,原點到過點A(a,0),B(0,-b)的直線的距離是
2
7
21

(1)求橢圓C的方程;
(2)設動直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P,過F1作PF1的垂直于直線l交于點Q,求證:點Q在定直線上,并求出定直線的方程.

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