如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,E是PB的中點(diǎn),AB=2AD=2CD=2,且二面角P-AC-E的大小為
π
4

(Ⅰ)求證:AC⊥平面PBC;
(Ⅱ)求三棱錐C-ABE高的大。
(Ⅲ)求直線PA與平面ACE所成角的大。
考點(diǎn):直線與平面垂直的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)由線面垂直得AC⊥PC,由勾股定理得AC⊥BC,由此能證明AC⊥平面PBC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC為三棱錐A-BCE的高,二面角P-AC-E的平面角為∠PCE=
π
4
,從而△PBC為等腰直角三角形,設(shè)三棱錐C-ABE的高為h,利用等積法能求出三棱錐C-ABE的高.
(Ⅲ)由已知條件得PB⊥AE,PB⊥CE,從而PB⊥平面ACE,進(jìn)而直線PA與平面ACE所成的角為∠PAE,由此能求出直線PA與平面ACE所成角的大小.
解答: (本小題滿分12分)
(Ⅰ)證明:∵PC⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=
2
,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AC⊥平面PBC,則AC為三棱錐A-BCE的高,
且二面角P-AC-E的平面角為∠PCE=
π
4

∵PC⊥BC,E是PB的中點(diǎn),∴△PBC為等腰直角三角形,
S△BCE=
1
2
S△PBC=
1
2
,
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ABC,PA=PB=AB=2,
S△ABE=
1
2
S△PAB=
3
2
,
設(shè)三棱錐C-ABE的高為h,
1
3
S△ABE•h=
1
3
S△BCE•AC⇒
1
3
3
2
•h=
1
3
1
2
2
⇒h=
6
3

故三棱錐C-ABE的高等于
6
3

(Ⅲ)解:∵△PAB是正三角形,
△PBC為等腰直角三角形,且E是PB的中點(diǎn)
∴PB⊥AE,PB⊥CE,且AE∩CE=E,
∴PB⊥平面ACE
則直線PA與平面ACE所成的角為∠PAE,
∵PA=PB=AB=2,E是PB的中點(diǎn),∴∠PAE=
π
6
點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查三棱錐的高的求法,考查角的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
x(1+x),x<0
x(1-x),x>0
( 。
A、是奇函數(shù)
B、是偶函數(shù)
C、既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)
D、既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列四組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是( 。
A、f(x)=x,g(x)=(
x
2
B、f(x)=x,g(x)=
x2
C、f(x)=x,g(x)=
x2
x
D、f(x)=x,g(x)=
3x3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

a=-1是直線l1:ax+y=0與直線l2:x+ay+2=0平行的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率e=
2
2
,A,B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
,動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2,使得|PF1|+|PF2|為定值?若存在,求F1,F(xiàn)2的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別是PC,PD的中點(diǎn),PA=AB=1,BC=2.
(1)求證:EF∥平面PAB;
(2)求證:平面PAD⊥平面PDC.
(3)求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ln(ax+b)-x,其中a>0,b>0.
(Ⅰ)求使f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù)的充要條件;
(Ⅱ)求f(x)在[0,+∞)上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
sinbx
x
+xsin
2
x
,x<0
3,                       x=0
ax-1
sinx
,               x>0
在x=0處連續(xù),求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知銳角∠A為定角,點(diǎn)P,Q分別在∠A的兩邊上,且△APQ的面積為定值S,當(dāng)P,Q在什么位置時(shí),PQ長最短.

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同步練習(xí)冊答案