Question

每年暑假期間，安徽衛(wèi)視播出的《男生女生向前沖》闖關(guān)節(jié)目都非�；�，闖關(guān)規(guī)則為：如果單人通過所有關(guān)卡達(dá)到終點(diǎn)，則可獲得一臺(tái)空調(diào)，今年高考結(jié)束夠，高三某班學(xué)生為了放松一下，挑選了3名男生．3名女生組成男生隊(duì)與女生隊(duì)兩個(gè)隊(duì)伍參加這檔節(jié)目，3名男生能成功到達(dá)終點(diǎn)得概率分別為

1

4

，

1

5

，

1

6

．3名女生體質(zhì)差不多，每位女生能成功到達(dá)終點(diǎn)得概率均為

1

5

（男生和女生之間沒有影響）
（1）求男生隊(duì)沒有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)的概率；
（2）設(shè)男生隊(duì)獲得空調(diào)的臺(tái)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）男生隊(duì)沒有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)，是指三名男生都沒有到達(dá)終點(diǎn)，三名女生都成功到達(dá)終點(diǎn)，由此能求出男生隊(duì)沒有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）∵男生隊(duì)沒有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)，
∴三名男生都沒有到達(dá)終點(diǎn)，三名女生都成功到達(dá)終點(diǎn)，
∴男生隊(duì)沒有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)的概率：
p=（1-

1

4

）（1-

1

5

）（1-

1

6

）×（

1

5

）³=

1

250

．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

1

4

）（1-

1

5

）（1-

1

6

）=

1

2

，
P（ξ=1）=

1

4

（1-

1

5

）（1-

1

6

）+

1

5

(1-

1

4

)(1-

1

6

)+

1

6

(1-

1

4

)(1-

1

5

)=

47

120

，
P（ξ=2）=

1

4

×

1

5

(1-

1

6

)+

1

4

(1-

1

5

)×

1

6

+（1-

1

4

）×

1

5

×

1

6

=

1

10

，
P（ξ=3）=

1

4

×

1

5

×

1

6

=

1

120

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 2	47 120	1 10	1 120

Eξ=0×

1

2

+1×

47

120

+2×

1

10

+3×

1

120

=

37

60

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．