設(shè)函數(shù)f(x)=
1,(1≤x≤2)
x-1,(2<x≤3)
,g(x)=f(x)-ax,x∈[1,3],其中a≥0.記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的差為h(a),求h(a)的表達(dá)式并求h(a)的最小值.
分析:由已知可求出g(x)的解析式,分類討論出函數(shù)在各段上的單調(diào)性,進而求出函數(shù)的最值的表達(dá)式,進而可得h(a)的表達(dá)式,進而可求出h(a)的最小值.
解答:解:g(x)=
1-ax(1≤x≤2)
(1-a)x-1(2<x≤3)

當(dāng)1≤x≤2時,g(x)max=1-a,g(x)min=1-2a(2分)
當(dāng)2≤x≤3時,若0≤a≤1,則g(x)在[2,3]上遞增,
g(x)max=2-3a,g(x)min=1-2a(4分)
當(dāng)a>1時,則g(x)在[2,3]上遞減,
g(x)max=1-2a,g(x)min=2-3a(6分)
0≤a≤
1
2
時,g(x)max=2-3a,g(x)min=1-2a

當(dāng)
1
2
≤a≤1時,g(x)max=1-a,g(x)min=1-2a

當(dāng)a≥1時,g(x)max=1-a,g(x)min=2-3a(9分)
h(a)=
1-a,0≤a≤
1
2
a,
1
2
<a<1
2a-1,a≥1
(12分)
當(dāng)a=
1
2
時,h(a)取最小值為
1
2
(14分)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義,分段函數(shù),其中分段函數(shù)分段處理是解答此類問題的常用方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
-1,x>0
1,x<0
,則
(a+b)-(a-b)f(a-b)
2
(a≠b)的值是( 。
A、aB、b
C、a,b中較小的數(shù)D、a,b中較大的數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1-x
1+x
的反函數(shù)為h(x),又函數(shù)g(x)與h(x+1)的圖象關(guān)于有線y=x對稱,則g(2)的值為( 。
A、-
4
3
B、-
1
3
C、-1
D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
 
1-x2
,(|x|≤1)
|x|,(|x|>1)
,若方程f(x)=a有且只有一個實根,則實數(shù)a滿足( 。
A、a<0B、0≤a<1
C、a=1D、a>1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x2
1-x2

①求它的定義域;
②求證:f(
1
x
)=-f(x)

③判斷它在(1,+∞)單調(diào)性,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•淮北一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)寫出定義域及f′(x)的解析式,
(2)設(shè)a>O,討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

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