設(shè)是一常數(shù),過點的直線與拋物線交于相異兩點AB,以線段AB為直經(jīng)作圓HH為圓心)。試證拋物線頂點在圓H的圓周上;并求圓H的面積最小時直線AB的方程.

  
     

Y

     
 

 


  
     

y2=2px

     
 

  
     

B

     
 

 

 

 

 


  
     

X

     
 

  
     

Q(2p,0)

     
 
  
     

O

     
 

  
     

A

     
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案:
解析:

解法一:由題意,直線AB不能是水平線,  故可設(shè)直線方程為:.

    又設(shè),則其坐標(biāo)滿足

    消去x 

    由此得  

   

    因此.

    O必在圓H的圓周上.

    又由題意圓心H)是AB的中點,故

   

    由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且.

    從而當(dāng)k=0時,圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小.

    此時,直線AB的方程為:x=2p.

    解法二:由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程為:ky=x2p

    又設(shè),則其坐標(biāo)滿足

    分別消去x,y

    故得A、B所在圓的方程

    明顯地,O00)滿足上面方程所表示的圓上,

    又知A、B中點H的坐標(biāo)為

   

    而前面圓的方程可表示為

    |OH|為上面圓的半徑R,從而以AB為直徑的圓必過點O0,0.

   

    故當(dāng)k=0時,R2最小,從而圓的面積最小,此時直線AB的方程為:x=2p.

    解法三:同解法一得O必在圓H的圓周上

    又直徑|AB|=

    上式當(dāng)時,等號成立,直徑|AB|最小,從而圓面積最小.

    此時直線AB的方程為x=2p.

 


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Y

     
 

 


  
     

y2=2px

     
 

  
     

B

     
 

 

 

 

 


  
     

X

     
 

  
     

Q(2p,0)

     
 
  
     

O

     
 

  
     

A

     
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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