橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使線(xiàn)段PF1與以橢圓短軸為直徑的圓相切，切點(diǎn)恰為線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為
 
．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F2，利用OM是△F1PF2的中位線(xiàn)，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF1的三邊之長(zhǎng)，使用勾股定理求離心率．
解答： 解：設(shè)線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F2，
由題意知，OM=b，又OM是△F1PF2的中位線(xiàn)，
∴OM=
1
2
PF2=b，PF2=2b，由橢圓的定義知  PF1=2a-PF2=2a-2b，
又 MF1=
1
2
PF1=
1
2
（2a-2b）=a-b，又OF1=c，
直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a-b）2+b2=c2，又a2-b2=c2，
可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2-c2），由此可求得離心率 e=
c
a
=
5
3
，
故答案為：
5
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)和圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P（x，y）是圓（x-2）2+y2=1上任意一點(diǎn)，則（x-5）2+（y+4）2的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

城市內(nèi)環(huán)高架能改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，高架上的車(chē)流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)高架上的車(chē)流密度達(dá)到188輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)28輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為80千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)28≤x≤188時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤188時(shí)，求車(chē)流速度v關(guān)于車(chē)流密度x的函數(shù)解析式；
（2）若車(chē)流速度v不低于50千米/小時(shí)，求車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量f（x）（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)高架橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)，車(chē)流量=車(chē)流密度×車(chē)流速度）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|若存在互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c）成立，則a+b+c的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x2-2x+
π
2
，b=y2-2y+
π
2
，c=z2-2z+
π
2
，試用反證法證明：a，b，c中至少有一個(gè)大于0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，O為正方體AC1的底面ABCD的中心，異面直線(xiàn)B1O與A1C1所成角的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，an+1=
1+an
1-an
（n∈N*），則a1•a2•a3•…•a2008的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求直線(xiàn)PC與平面PAD所成角的余弦值；
（2）求證：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A-BE-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x
a-x2
-
1
2
對(duì)于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤0成立，則實(shí)數(shù)a的范圍
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案