Question

如果有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m為正整數(shù)）滿足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“對稱數(shù)列”例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”．設{b_n}是項數(shù)為2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項，則數(shù)列{b_n}的前2010項和S₂₀₁₀可以是：
（1）2²⁰¹⁰-1；（2）2¹⁰⁰⁶-2；（3）2^m+1-2^2m-2010-1；
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題根據(jù)新定義“對稱數(shù)列”，研究數(shù)列{b_n}的前2010項和S₂₀₁₀，從而判斷命題（1）（2）（3）是否正確，得到本題結論．

解答： 解：∵有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m為正整數(shù)）滿足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“對稱數(shù)列”，
{b_n}是項數(shù)為2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數(shù)列”，
∴b₁=b_2m，b₂=b_2m-1，…b_m=b_m+1．
∵數(shù)列{b_n}項數(shù)為2m項，
∴2m≥2010，m≥1005．
∵1，2，2²，2³，…，2^m-1依次為該數(shù)列{b_n}中連續(xù)的前m項，
∴數(shù)列{b_n}的2m項之和為：S_2m=2（b₁+b₂+…+b_m）=

2×1×(1-2m)

1-2

=2^m+1-2．
（1）當m≥2010時，
S₂₀₁₀=b₁+b₂+…+b₂₀₁₀
=1+2+2²⁺2³…+2²⁰⁰⁹
=

1-22010

1-2

=2²⁰¹⁰-1，
故選項（1）正確；
（2）當1005＜m＜2010時，
S₂₀₁₀=b₁+b₂+…+b_m+b_m+1+…+b₂₀₁₀
=S_2m-（b₂₀₁₁+b₂₀₁₂+…+b_2m）
=S_2m-（1+2+2²+…2^2m-2010-1）
=（2^m+1-2）-（2^2m-2010-1）
=2^m+1-2^2m-2010-1，
故選項（3）正確；
（3）當m=1005時，則2m=2010，
則有：S₂₀₁₀=S_2m=2¹⁰⁰⁶-2．
故選項（2）正確；
綜上，正確的命題個數(shù)為3．
故選D．

點評：本題考查了新定義概念與等比數(shù)列求和，還考查了分類討論的數(shù)學思想，本題難度適中，屬于中檔題．