試說明函數(shù)f(x)＝(1＋x)3在區(qū)間[0，0.1]上各點的函數(shù)值，可以近似地用一次函數(shù)g(x)＝1＋3x在相應(yīng)區(qū)間上各點的函數(shù)值來表示，其絕對誤差小于0.1．

答案：
解析：

　　解：|f(x)－g(x)|＝|(1＋x)3－(1＋3x)|

　�。絴1＋3x＋3x2＋x3－1－3x|

　　＝|x3＋3x2|．

　　∵x∈[0，0.1]，

　　∴|f(x)－g(x)|＝x3＋3x2．

　　設(shè)h(x)＝x3＋3x2，x1，x2∈[0，0.1]，x1＜x2，

　　則有h(x1)－h(huán)(x2)＝(x13＋3x12)－(x23＋3x22)

　　＝(x13－x23)＋(3x12－3x22)

　�。�(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22＋3x1＋3x2)．

　　∵x1，x2∈[0，0.1]，x1＜x2，∴x1－x2＜0，x12＋x1x2＋x22＋3x1＋3x2＞0．

　　∴h(x1)＜h(x2)．

　　∴當(dāng)x∈[0，0.1]時，h(x)＝x3＋3x2是增函數(shù)．

　　則有h(x)≤h(0.1)＝(0.1)3＋3×(0.1)2＝0.031＜0.1．

　　∴當(dāng)x∈[0，0.1]時，|f(x)－g(x)|＜0.1．

　　∴函數(shù)f(x)＝(1＋x)3在區(qū)間[0，0.1]上各點的函數(shù)值，可以近似地用一次函數(shù)g(x)＝1＋3x在相應(yīng)區(qū)間上各點的函數(shù)值來表示．


提示：

要理解絕對誤差的概念：差的絕對值，這里即證明差的絕對值小于0.1．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計必修一數(shù)學(xué)(人教A版) 人教A版 題型：044

試說明函數(shù)f(x)＝(1＋x)3在區(qū)間[0，0.1]上各點的函數(shù)值，可以近似地用一次函數(shù)g(x)＝1＋3x在相應(yīng)區(qū)間上各點的函數(shù)值來表示，其絕對誤差小于0.1．

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設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x1，x2(x1≠x2)，恒有，則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)f(x)＝x2是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，試證明f(x)不是R上的C函數(shù)；

(3)設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)a∈(0，1)以及D中的任意兩數(shù)x1，x2，恒有f(ax1＋(1－a)x2]≤af(x1)＋(1－a)f(x2)，則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù)．已知f(x)是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an＝f(n)，n，0，1，2，…，m，且a0=0，am＝2m，記Sf＝a1＋a2＋…＋am對于滿足條件的任意函數(shù)f(x)，試求Sf的最大值．

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對于定義在D上的函數(shù)y＝f(x)，若存在x0∈D，對任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有下界，把f(x0)稱為函數(shù)f(x)在D上的“下界”．

(1)分別判斷下列函數(shù)是否有“下界”？如果有，寫出“下界”否則請說明理由；f1(x)＝1－2x(x＞0)，f2(x)＝x＋　x∈(0，5]

(2)請你類比函數(shù)有“下界”的定義，寫出函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有“上界”的定義；并判斷函數(shù)是否有“上界”？說明理由；

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上既有“上界”又有“下界”，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“有界函數(shù)”，把“上界”減去“下界”的差稱為函數(shù)f(x)在D上的“幅度M”．

對于實數(shù)a，試探究函數(shù)F(x)＝x|x|－2x＋3是否是[a，a＋2]上的“有界函數(shù)”？如果是，求出“幅度M”的值．

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如下圖所示，定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對x∈D，常數(shù)A，都有f(x)≥A成立，則稱函數(shù)f(x)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界．(提示：圖中的常數(shù)A可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零)

(1)試判斷函數(shù)f(x)＝x3＋在(0，＋∞)上是否有下界？并說明理由；

(2)已知某質(zhì)點的運動方程為S(t)＝at－2，要使在t∈[0，＋∞)上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度是以A＝為下界的函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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