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18.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2-c2+2a=0,tanCtanB=3,則a=4.

分析 由已知及余弦定理整理可得cosC=a22b,由tanCtanB=3,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得:sinCcosB=3cosCsinB,從而可求sinA=4sinBcosC,由正弦定理可得cosC=a4b,聯(lián)立即可解得a的值.

解答 解:∵由已知可得:c2=b2+2a,
∴由余弦定理c2=b2+a2-2abcosC,可得:2a=a2-2abcosC,整理可得:cosC=a22b,①
tanCtanB=3,可得:sinCcosBcosCsinB=3,可得:sinCcosB=3cosCsinB,
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC,
∴由正弦定理可得:a=4bcosC,即cosC=a4b,②
∴由①②可得:a22b=a4b,解得:a=4.
故答案為:4.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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