Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．若x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個極值點，則如圖四個圖象可以為y=f（x）的圖象序號是

 

（寫出所有滿足題目條件的序號）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）e^x的導(dǎo)函數(shù)，利用x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個極值點可得a，b，c之間的關(guān)系，再代入函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，對答案分別代入驗證，看哪個答案不成立即可．

解答： 解：因為[f（x）e^x]′=f′（x）e^x+f（x）（e^x）′=[f（x）+f′（x）]e^x，
且x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個極值點，所以f（-1）+f′（-1）=0；
對于①②，f（-1）=0且f′（-1）=0，所以成立；
對于③，f（-1）＜0，且a＜0，-

b

2a

＜-1，得2a-b＜0，即b-2a＞0，
所以f′（-1）＞0，
所以可滿足f（-1）+f′（-1）=0，故③可以成立；
對于④，因f（-1）＞0，f′（-1）＞0，不滿足f′（1）+f（1）=0，故不能成立，
故①②③成立．
故答案為：①②③

點評：本題考查極值點與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．一般在知道一個函數(shù)的極值點時，直接把極值點代入導(dǎo)數(shù)令其等0即可．可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點．