Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出a=2的函數(shù)解析式，討論x≥2時(shí)，x＜2時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可得到增區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=f（x）與y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫出圖象，討論a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通過圖象和對(duì)稱軸，即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|，
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-2x，對(duì)稱軸為x=1，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=-x²+2x，對(duì)稱軸為x=1，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）．
（2）令g（x）=f（x）-1=0，即f（x）=1，f（x）=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，
求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求y=f（x）與y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x²-ax，對(duì)稱軸為x=

a

2

，
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=-x²+ax，對(duì)稱軸為x=

a

2

，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，
故由圖象可得，
y=f（x）與y=1只存在一個(gè)交點(diǎn)．
②當(dāng)a＞0時(shí)，

a

2

＜a，且f（

a

2

）=

a2

4

，
故由圖象可得，1°當(dāng)a=2時(shí)，f（

a

2

）=

a2

4

=1，
y=f（x）與y=1只存在兩個(gè)交點(diǎn)；
2°當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（

a

2

）=

a2

4

＜1，
y=f（x）與y=1只存在一個(gè)交點(diǎn)；
3°當(dāng)a＞2時(shí)，f（

a

2

）=

a2

4

＞1，
y=f（x）與y=1只存在三個(gè)交點(diǎn)．
③當(dāng)a＜0時(shí)，

a

2

＞a，
故由圖象可得，
y=f（x）與y=1只存在一個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)a＞2時(shí)，g（x）存在三個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=2時(shí)，g（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜2時(shí)，g（x）存在一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)和方程的思想，函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．