Question

14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂=3，a₄-2a₃=9，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（n+1）•log₃a_n+1，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$前n項(xiàng)和$T_n^{\;}$，在（1）的條件下，證明不等式T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，列出關(guān)于q的方程組，求出公比q，再求出首項(xiàng)，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到b_n=n（n+1），再根據(jù)裂項(xiàng)求和，再放縮即可證明．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由$\left\{\begin{array}{l}{a_4}-2{a_3}=9\\{a_2}=3\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}（{q^2}-2q）=9\\{a_2}=3\end{array}\right.$，
解得q=3或q=-1，∵數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，∴q=3，
∴首項(xiàng)${a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，∴${a_n}={3^{n-1}}$；
（2）證明：由（1）得${b_n}=（n+1）•{log_3}{a_{n+1}}=（n+1）{log_3}{3^n}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及裂項(xiàng)求和，利用放縮法證明不等式，屬于中檔題