Question

【題目】各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列條件： ①a1=m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+an的因數(shù)（n≥1）．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，寫出數(shù)列{an}的前五項(xiàng)；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前三項(xiàng)互不相等，且n≥3時(shí)，an為常數(shù)，求m的值；
（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)M，使得n≥M時(shí)，an為常數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） m=5時(shí)，數(shù)列{an}的前五項(xiàng)分別為：5，1，0，2，2．

（Ⅱ）∵0≤an≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，

又?jǐn)?shù)列{an}的前3項(xiàng)互不相等，

⑴當(dāng)a2=0時(shí)，

若a3=1，則a3=a4=a5=…=1，

且對(duì)n≥3， 都為整數(shù)，∴m=2；

若a3=2，則a3=a4=a5=…=2，

且對(duì)n≥3， 都為整數(shù)，∴m=4；

⑵當(dāng)a2=1時(shí)，

若a3=0，則a3=a4=a5=…=0，

且對(duì)n≥3， 都為整數(shù)，∴m=﹣1，不符合題意；

若a3=2，則a3=a4=a5=…=2，

且對(duì)n≥3， 都為整數(shù)，∴m=3；

綜上，m的值為2，3，4．

（Ⅲ）證明：對(duì)于n≥1，令Sn=a1+a2+…+an，

則 ．

又對(duì)每一個(gè)n， 都為正整數(shù)，∴ ，其中“＜”至多出現(xiàn)m﹣1個(gè)．

故存在正整數(shù)M＞m，當(dāng)n＞M時(shí)，必有 成立．

當(dāng) 時(shí)，則 ．

從而 ．

由題設(shè)知 ，又 及an+1均為整數(shù)，

∴ =an+1= ，故 =常數(shù)．

從而 =常數(shù)．

故存在正整數(shù)M，使得n≥M時(shí)，an為常數(shù)

【解析】（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，寫出數(shù)列{an}的前五項(xiàng)；（Ⅱ）對(duì)a2、a3分類取值，再結(jié)合各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)列式求m的值；（Ⅲ）令Sn=a1+a2+…+an，則 ．進(jìn)一步推得存在正整數(shù)M＞m，當(dāng)n＞M時(shí)，必有 成立．再由 成立證明an為常數(shù)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)．