【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:與坐標(biāo)軸分別交于A1,A2,B1,B2(如圖).
(1)點Q是圓O上除A1,A2外的任意點(如圖1),直線A1Q,A2Q與直線交于不同的兩點M,N,求線段MN長的最小值;
(2)點P是圓O上除A1,A2,B1,B2外的任意點(如圖2),直線B2P交x軸于點F,直線A1B2交A2P于點E.設(shè)A2P的斜率為k,EF的斜率為m,求證:2m﹣k為定值.
(圖1) (圖2)
【答案】(1)2;(2)證明見解析。
【解析】
(1)設(shè)A2Q的斜率為k,求出直線A1Q和A2Q的方程,得出M,N的坐標(biāo),從而得出MN關(guān)于k的表達式,進而得出MN的最小值;
(2)求出直線方程,得出E、F的坐標(biāo),進而得出m與k的關(guān)系,從而得出結(jié)論.
(1)由題設(shè)可以得到直線的斜率存在設(shè)方程為,
直線的方程為,
由,解得;由,解得
所以,直線與直線的交點
直線與直線的交點,所以.
當(dāng)時, ,等號成立的條件是
當(dāng)時, ,等號成立的條件是.
故線段長的最小值是2.
(2)法1:由題意可知,
的斜率為,∴直線的方程為,由得
則直線的方程為,令,則,即
∵直線的方程為,由解得
∴,
∴的斜率,
∴ (定值).
法2:設(shè), ,
,
所以直線方程:
:直線方程,
則,得
而,得
,
則 (定值)。
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【題目】已知函數(shù)()且函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)是否存在這樣的實數(shù),使對所有的均成立?若存在,求出適合條件的實數(shù)的值或范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)滿足:對任何,都有,且當(dāng)時,,在下列結(jié)論中,正確命題的序號是________
① 對任何,都有;② 函數(shù)的值域是;
③ 存在,使得;④ “函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條
件是“存在,使得”;
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【題目】若存在正數(shù)x,y,使得,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則實數(shù)的取值范圍是_____________.
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【題目】如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,E是PC的中點.
(1)求證:平面PAC⊥平面BDE;
(2)若二面角E-BD-C為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),且),且數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,當(dāng)時,求數(shù)列的前項和的最小值;
(3)若,問是否存在實數(shù),使得是遞增數(shù)列?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】已知實數(shù)x,y滿足x3<y3,則下列不等式中恒成立的是( 。
A. ()x>()y B. ln(x2+1)>ln(y2+1)
C. D. tanx>tany
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinB=bsin(A+).
(1)求A;
(2)若b,a,c成等差數(shù)列,△ABC的面積為2,求a.
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【題目】如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖,圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖,下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是( )
A. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量,3月最高,2月最低,差值接近2000萬件
B. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%,在3月底最高
C. 從兩圖來看,2018年1~4月中的同一個月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致
D. 從1~4月來看,該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長
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