【題目】如圖所示，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于、的平面分別交棱、、于點(diǎn)、、.

（1）證明：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，由線面平行的性質(zhì)定理，分別證得和，得到四邊形為平行四邊形，再由線面垂直的性質(zhì)定理，證得，即可得到答案。

（2）以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。

（1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，

∵平面，平面平面，平面平面，

∴，，∴.

同理，由平面得，∴四邊形為平行四邊形.

∵與都是等邊三角形，∴，，

又，∴平面，故，

又由上知，，∴，∴四邊形為矩形.

（2）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴，，兩兩垂直，

以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

∵與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴，，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，令，得.

同理可得平面的法向量，

∴ .

由圖形可知，所求二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為（）．點(diǎn)在上，，△的周長(zhǎng)為，面積為．

（1）求的方程；

（2）過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與直線相切，求直線的方程．

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【題目】石嘴山市第三中學(xué)高三年級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)（滿分150分），現(xiàn)有甲乙兩位同學(xué)的20次成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示:

（1）根據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，并將同學(xué)乙的成績(jī)的頻率分布直方圖填充完整；

（2）根據(jù)莖葉圖比較甲乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值及穩(wěn)定程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（3）現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意選出2個(gè)成績(jī)，記事件為“其中2個(gè)成績(jī)分別屬于不同的同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.

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【題目】基于移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的共享單車(chē)被稱(chēng)為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，給人們帶來(lái)新的出行體驗(yàn)，某共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)研究人員為了了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)公司最近6個(gè)月的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

月份

2018.11

2018.12

2019.01

2019.02

2019.03

2019.04

月份代碼

1

2

3

4

5

6

11

13

16

15

20

21

（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明能否用線性回歸模型擬合與月份代碼之間的關(guān)系.如果能，請(qǐng)計(jì)算出關(guān)于的線性回歸方程，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購(gòu)一批單車(chē)擴(kuò)大市場(chǎng)，從成本1000元/輛的型車(chē)和800元/輛的型車(chē)中選購(gòu)一種，兩款單車(chē)使用壽命頻數(shù)如下表：

車(chē)型 報(bào)廢年限

1年

2年

3年

4年

總計(jì)

10

30

40

20

100

15

40

35

10

100

經(jīng)測(cè)算，平均每輛單車(chē)每年能為公司帶來(lái)500元的收入，不考慮除采購(gòu)成本以外的其它成本，假設(shè)每輛單車(chē)的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計(jì)每輛車(chē)使用壽命的概率，以平均每輛單車(chē)所產(chǎn)生的利潤(rùn)的估計(jì)值為決策依據(jù)，如果你是公司負(fù)責(zé)人，會(huì)選擇哪款車(chē)型？

參考數(shù)據(jù)：，，，.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.

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【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高二丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問(wèn)：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）

A. 12000立方尺B. 11000立方尺

C. 10000立方尺D. 9000立方尺

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【題目】已知橢圓的焦距等于,短軸與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度比等于.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上,過(guò)作兩直線,分別交橢圓于另外兩點(diǎn),當(dāng)的傾斜角互為補(bǔ)角時(shí),求面積的最大值.

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【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計(jì)情況如下表：

同意

不同意

合計(jì)

男生

a

5

女生

40

d

合計(jì)

100

（1）求 a，d 的值；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由；

附：

0.15

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩名大學(xué)生因?yàn)閷W(xué)習(xí)需要，欲各自選購(gòu)一臺(tái)筆記本電腦，他們決定在A，B，C三個(gè)品牌的五款產(chǎn)品中選擇，這五款筆記本電腦在某電商平臺(tái)的價(jià)格與銷(xiāo)量數(shù)據(jù)如表所示：

品牌

A

B

C

型號(hào)

A﹣1

A﹣2

B﹣1

B﹣2

C﹣1

價(jià)格（元）

6000

7500

10000

8000

4500

銷(xiāo)量（臺(tái)）

1000

1000

200

800

3000

（Ⅰ）若甲選擇某品牌的筆記本電腦的概率與該品牌的總銷(xiāo)量成正比，求他選擇B品牌的筆記本電腦的概率；

（Ⅱ）若甲、乙兩人選擇每種型號(hào)的筆記本電腦的概率都相等，且兩人選購(gòu)的型號(hào)不相同，求他們兩人購(gòu)買(mǎi)的筆記本電腦的價(jià)格之和大于15000元的概率．

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【題目】某校高二理科8班共有50名學(xué)生參加學(xué)業(yè)水平模擬考試，成績(jī)（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語(yǔ)文成績(jī)近似服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖.

（I）這50名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的大約各有多少人？

（Ⅱ）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科成績(jī)都優(yōu)秀的共有4人，從語(yǔ)文優(yōu)秀或數(shù)學(xué)優(yōu)秀的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)（I）（Ⅱ）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)也優(yōu)秀？

附：①若~，則，；

②；

③

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