Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點，直線l：x=1過橢圓C的右焦點F₂且與橢圓C在x軸上方的交點為M，若

MF1

•

MF2

=

9

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）以M為圓心的動圓與x軸分別交于兩點A B，延長MA，MB分別交橢圓C于D、E兩點，試判斷直線DE的斜率是否為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件可得c=1，再由向量的數(shù)量積的定義，可得M（1，

3

2

），代入橢圓方程和a，b，c的關(guān)系，即可解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）以M為圓心的動圓與x軸分別交于兩點A、B，則直線MA，MB關(guān)于直線x=1對稱，則它們的斜率互為相反數(shù)．設(shè)出直線MA的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到縱坐標(biāo)，將k換成-k，即得E的坐標(biāo)，再由兩點的斜率公式，即可得到定值．

解答： 解：（1）直線l：x=1過橢圓C的右焦點F₂，則c=1，
由于

MF1

•

MF2

=

9

4

，則有|

MF1

|•|

MF2

|•cos∠F₁MF₂=

9

4

，
即|

MF2

|²=

9

4

，即為|

MF2

|=

3

2

，即有M（1，

3

2

），
由a²-b²=1，

1

a2

+

9

4b2

=1，解得，a=2，b=

3

，
則橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）以M為圓心的動圓與x軸分別交于兩點A、B，
則直線MA，MB關(guān)于直線x=1對稱，則它們的斜率互為相反數(shù)．
設(shè)直線MA：y-

3

2

=k（x-1），代入橢圓方程，消去y，得
（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則有1+x₁=

4k(2k-3)

3+4k2

，即有x₁=

4k2-12k-3

3+4k2

，則y₁=

-6k2-6k+ 9 2

3+4k2

，
將k換成-k，即有x₂=

4k2+12k-3

3+4k2

，y₂=

-6k2+6k+ 9 2

3+4k2

，
則有直線DE的斜率為

y2-y1

x2-x1

=

6k+6k

12k+12k

=

1

2

．
即直線DE的斜率為定值

1

2

．

點評：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．