Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并證明{a_n}為等差數(shù)列；
（2）記b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若?n∈N^*，T_n＞m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，表示出數(shù)列{a_n}的前n-1項和S_n-1，兩式相減即可求出此數(shù)列的通項公式，然后把n=1代入也滿足，故此數(shù)列為等差數(shù)列，求出的a_n即為通項公式；
（2）利用裂項法求和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）當n=1時，S₁=1²=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又n=1時，a₁=2-1=1，滿足通項公式，
∴此數(shù)列為等差數(shù)列，其通項公式為a_n=2n-1；…4分
∵a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列；…6分
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

），…10分
Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)在n∈N^*上單調(diào)遞增，所以n=1時(Tn)min=

1

3

∴m的取值范圍是(-∞，

1

3

)…14分．

點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查裂項法，靈活運用a_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列的通項公式是關(guān)鍵．