Question

已知直線l：

x=1+t y= 3 t

（t為參數(shù)），曲線C₁：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）設l與C₁相交于A、B兩點，求|AB|的值；
（2）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的

1

4

，縱坐標壓縮為原來的

3

4

，得到曲線C₂，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題（1）可以將曲線C₁的方程轉化為普通方程，再將直線l：

x=1+t y= 3 t

（t為參數(shù)），方程代入后，求出交點A、B對應的參數(shù)t₁，t₂，得到兩個參數(shù)的和與積，再利用交點點A、B兩點的坐標與參數(shù)t₁，t₂的關系，求出|AB|的值，也可以將直線l的方程化成普通方程后，利用弦長公式求出出|AB|的值，得到本題結論；
（2）將曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的

1

4

，縱坐標壓縮為原來的

3

4

，利用曲線的變換規(guī)律，求出到曲線C₂的方程，再將直線l平移到與曲線C₂的相切，
利用根據(jù)的判斷式為0，求出平移后的直線方程，利用兩直線間距離公式，求出兩平行線距離，得到曲線C₂上的一個動點P到直線l的距離的最小值．

解答： 解：（1）∵曲線C₁：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
∴消去參數(shù)θ，得到C₁：x²+y²=4．
∵直線l：

x=1+t y= 3 t

（t為參數(shù)），
∴（t+1）²+（

3

t）²=4，
∴4t²+2t-3=0．
∴（t₂-t₁）²=（t₂+t₁）²-4t₁t₂=(-

2

4

)2-4×

-3

4

=

13

4

．
設l與C₁相交于A、B兩點，則A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AB|²=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=[（1+t₂）-（1+t₁）]²+[

3

t2-

3

t1]²
=4（t₂-t₁）²
=13．
∴|AB|=

13

．
（2）∵把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的

1

4

，縱坐標壓縮為原來的

3

4

，得到曲線C₂，
∴由C₁：x²+y²=4得
C₂：（4x）²+（

4

3

y）²=4，
∴

x2

1 4

+

y2

3 4

=1．
∵直線l：

x=1+t y= 3 t

（t為參數(shù)），
∴y=

3

x-

3

．
 將y=

3

x+m代入

x2

1 4

+

y2

3 4

=1，
∴24x2+8

3

mx+4m2-3=0，
令△=0，
m2=

3

2

，
∴m=±

6

2

．
取m=-

6

2

，得到直線：y=

3

x-

6

2

，
∵直線y=

3

x-

6

2

與直線y=

3

x-

3

的距離為：
d=

| 6 2 - 3 |

3+1

=

2 3 - 6

4

，
∴曲線C₂上的一個動點P到直線l的距離的最小值為

2 3 - 6

4

．

點評：本題考查了曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化，直線的平移、直線與曲線的位置關系、距離最值，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．