Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與拋物線y²=2px（p＞0）有公共焦點(diǎn)F（c，0）（c∈N^*），M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，S_△MOF=2

6

，且|MF|=5．
（1）求橢圓及拋物線的方程；
（2）是否存在過(guò)F的直線l被橢圓及拋物線截得的弦長(zhǎng)相等，若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,存在型,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義得到M的橫坐標(biāo)，再由面積公式，得到M的縱坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可解得，p=4，進(jìn)而得到a，b，c，得到橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，列出等式，解得即可．

解答： 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)（

p

2

，0），
準(zhǔn)線方程x=-

p

2

，則由拋物線的定義，可得，|MF|=x_M+

p

2

=5，
即有x_M=5-

p

2

，設(shè)M在第一象限，
又S_△MOF=2

6

，則有

1

2

•

p

2

•y_M=2

6

．
即有y_M=

8 6

p

，再代入拋物線方程，可得，

384

p2

=10p-p²，（由于c∈N^*，則p為偶數(shù)），
解得，p=4．則有c=2，M（3，2

6

），
即有a²-b²=4，

9

a2

+

24

b2

=1．
解得，a²=36，b²=32．
則橢圓方程為：

x2

36

+

y2

32

=1，拋物線方程為：y²=8x；
（2）假設(shè)存在過(guò)F的直線l被橢圓及拋物線截得的弦長(zhǎng)相等．
則設(shè)直線l：y=k（x-2），代入拋物線方程，得到，
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
則有x₁+x₂=

4k2+8

k2

，
由拋物線的定義可得，弦長(zhǎng)為：x₁+x₂+4=8+

8

k2

，
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（8+9k²）x²-36k²x+36k²-288=0，
設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₃，x₄，則x₃+x₄=

36k2

8+9k2

，
由橢圓的第二定義可得，弦長(zhǎng)為：a-ex₃+a-ex₄=2a-e（x₃+x₄）
=12-

1

3

•

36k2

8+9k2

=

96+96k2

8+9k2

由8+

8

k2

=

96+96k2

8+9k2

，解得，k²=

8

3

，解得，k=±

2 6

3

．
則存在過(guò)F的直線l：y=±

2 6

3

（x-2），被橢圓及拋物線截得的弦長(zhǎng)相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和拋物線的方程和定義及性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程、橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．